*** Optimisation de la taille d'une bouteille de parfum

Une entreprise de parfumerie souhaite créer une nouvelle bouteille de parfum en forme de parallélépipède rectangle.

La contenance de la bouteille doit être de 100 mL.
La longueur de cette bouteille est fixée à \(L=4 \text{ cm}\) et la hauteur \(h\) doit être comprise entre \(10\) et \(13 \text{ cm}\).
Pour des question d'esthétisme l'objectif est de minimiser la largeur \(\ell\) de la bouteille.

1. Simon dit avoir trouvé une solution : il propose de prendre une largeur de 2 cm et une hauteur de 12 cm.
La proposition de Simon est-elle correcte ?

2. Anaïs décide de modéliser la situation.
    a. Démontrer que \(\ell = \dfrac{25}{h}\), où \(10\leqslant h\leqslant13\).
    b. On admet que, lorsque la hauteur \(h\) augmente, la largeur \(\ell\) diminue. En déduire la valeur de \(h\) à considérer.
    c. Quelle largeur \(\ell\) Anaïs peut-elle proposer ?

3. On s'intéresse maintenant au vaporisateur sur la bouteille.
Celui-ci est modélisé par un cylindre dont la base est un disque de rayon \(R=0{,}5 \text{ cm}\) et de hauteur \(1\text{ cm}\). On a représenté ce cylindre en rouge.

Quel est le volume \(V_\text{cylindre}\) de ce vaporisateur ?

4. Afin de terminer la bouteille, l'équipe de création souhaite ajouter un bouchon de forme cubique, que l'on a représenté en vert.

Ce cube a pour arête 1,25 cm.
    a. Calculer le volume \(V_\text{cube}\) de ce cube.
    b. Déterminer le volume \(V_\text{bouchon}\) du bouchon de cette bouteille.

Pour aller plus loin, en lien avec les fonctions

5. Démonstration de la question 2b.
On considère \(\ell\) la fonction définie sur l'intervalle \([10~;13]\) par \(\ell (h) = \dfrac{25}{h}\).
    a. Soit \(h_1\) et \(h_2\) deux réels de \([10~;13]\) tels que \(h_1<h_2\).
        Démontrer que \(\ell (h_1)-\ell (h_2)=\dfrac{25(h_2-h_1)}{h_1h_2}\).
    b. En déduire le signe de \(\ell (h_1) - \ell (h_2)\), puis le sens de variation de \(\ell\) sur \([10~;13]\).
    c. Justifier le choix d'Anaïs.